Se non è vero

.

Por Nuno Crato

EM CIÊNCIA, como em tudo, há historietas que são mitos ou simplificações da realidade e que, muitas vezes, são ditas porque estão bem apanhadas ou porque servem para enquadrar as ideias numa narrativa sedutora.

Conta-se, por exemplo, que Gauss, ainda criança, conseguiu fazer de cabeça a soma de uma sucessão de números de um a cem, deduzindo a fórmula dessa soma. A estória é curiosa e serve por vezes de intróito à discussão das progressões aritméticas, ou seja, das sucessões de números que progridem somando sempre a mesma quantidade ao número anterior. A sucessão 1, 2, 3, … é uma progressão aritmética, tal como 7, 10, 13, 16, …

Gauss teria reparado que podia somar os números de 1 a 1000 somando 1 com 1000, depois 2 com 999, depois 3 com 998, e por aí adiante. Cada uma destas somas parciais tem 1001 como resultado. Como deveria fazer 500 para esgotar todos os termos de 1 a 1000, Gauss teria simplesmente calculado 500 x 1001 = 500500. Nada mal para uma criança de sete ou oito anos!
A história é engraçada. Tem apenas um senão: é que não existe nada que prove que ela realmente tenha acontecido. Que se deve concluir daqui? Que se trata de uma lenda que deve ser banida dos livros?

Em “Tudo é Relativo e Outras Lendas da Ciência e da Tecnologia”, uma obra acabada de ser traduzida para português pela Gradiva, o físico Tony Rothman apraz-se a contar algumas destas histórias, para a seguir as questionar.

Na realidade… Na realidade, os cálculos de Leverrier que levaram à descoberta de Neptuno em 1846 acertaram na localização do planeta apenas por um acaso feliz — uns anos mais tarde ou uns anos mais cedo, a divergência entre a posição calculada pelo mesmo processo e a posição real do planeta seria demasiadamente grande para que este pudesse ser localizado. Na realidade, não foi Henry Becquerel quem descobriu a radioactividade em 1896 — o oficial de cavalaria Abel Niépce tinha já feito essa descoberta em 1857. Na realidade, não há provas documentais de que Galileu tenha atirado pesos de chumbo e de madeira do topo da Torre de Pisa e, dessa forma, contrariando Aristóteles, tenha chegado à conclusão de que os corpos caem à mesma velocidade, independentemente do seu peso. Na realidade, é questionável que as medidas dos desvios das estrelas no eclipse de 1919 tenham comprovado inequivocamente as previsões de Einstein. Na realidade…

Na sua obra, Tony Rothman, ajuda a reabilitar alguns nomes esquecidos da história da ciência e diverte-nos com muitos dos erros comuns da histórias que, por vezes com a maior boa vontade, nos são contadas. O autor, contudo, não cai no erro muito comum a alguns sociólogos e historiadores pós-modernos, que deduzem da fragilidade dessas histórias a impossibilidade de se saber o que na realidade se passou. Nem cai no erro, ainda mais grave, de dizer que a história da descoberta científica é uma história de arbitrariedades “socialmente construídas”, convencionadas entre os actores de um grupo social, o dos cientistas, de forma a gerar “narrativas da realidade”, tão arbitrárias como quaisquer outras.

Habitualmente, as simplificações da realidade contidas nas lendas e nas estórias simplificadas que se contam sobre as descobertas científicas contêm uma parte da realidade e são instrutivas. Os profissionais da história da ciência não se podem ficar pelas lendas. Mas não há mal nenhum em conhecê-las. Por vezes, “se non è vero è ben trovato”, como dizem os italianos. Nada mais.
.

«Passeio Aleatório» - «Expresso» de 4 Dez 10

As botas mágicas dos macacos aranha

Por Nuno Crato

UM HOMEM BÊBADO, passeando ao acaso pelas ruas, sem memória do percurso andado nem ideia da direcção a tomar, é a imagem mais frequentemente usada para ilustrar o conceito matemático de passeio aleatório. Falámos deste conceito várias vezes, desde a primeira crónica que aqui saiu com este título genérico até uma outra de há poucos meses atrás. Se a ideia é repetida, é porque este modelo matemático tem aplicações em áreas tão diversas que estão sempre a surgir notícias das suas aplicações.

O passeio aleatório, entendido como um movimento ao acaso obtido por choques de impulsos, apareceu pela primeira vez em 1900 nos trabalhos dum obscuro matemático francês chamado Louis Bachelier — o objectivo era modelar os movimentos de preços nas bolsas de valores. Cinco anos mais tarde reapareceu pelas mãos de Albert Einstein para explicação dos movimentos de pequenos grãos de pólen mergulhados num líquido, um fenómeno que tinha sido pela primeira vez observado pelo botânico Robert Brown e que acabou por servir de prova experimental da existência de átomos e moléculas.

Em 1935 e nos anos seguintes, outro matemático francês, Paul Lévy, começou a estudar um tipo de movimento em que os saltos podem ser tão bruscos que, de um golpe, se pode andar mais do que em milhares de pequenos saltos (tecnicamente: a distribuição normal é substituída por uma outra de variância infinita). Chamou-se a este tipo de passeio aleatório “voos de Lévy” (Lévy flights). Tudo se passa como se o nosso bêbado, de repente, passasse a usar botas mágicas, como o Pequeno Polegar da história das botas de sete léguas.

Foi preciso passarem muitos anos sobre os trabalhos teóricos do matemático francês para que se encontrassem na natureza fenómenos deste tipo. Foram descobertos por acaso em 1990, no movimento microscópico de moléculas arrastadas em agregados de longos filamentos (micelas). Depois disso, encontraram-se muitos exemplos semelhantes. Ainda recentemente, em Junho deste ano, descobriu-se que os tubarões praticavam voos de Levy quando procuravam comida em águas de caça pouco abundante.

Este mês foi feita uma nova descoberta (doi: 10.1103/PhysRevLett.105.190601). Estudando os movimentos dos macacos aranha — uma família de símios de pernas e braços muito longos que vivem na floresta amazónica — dois investigadores da Universidade da Califórnia notaram que esses animais descrevem trajectórias semelhantes aos voos de Levy: passam muito tempo movimentando-se aleatoriamente em pequenos movimentos e, de repente, cobrem grandes distâncias.

Notaram ainda que os movimentos que fazem, com saltos longos que lhes permitem explorar em pouco tempo vastas zonas da floresta, são especialmente propícios a caçadas dispersas em que os caçadores evitam encontrar-se. Tudo se passa como se, na procura de comida, esses símios procurassem a maneira de maximizar a plausibilidade de encontro de comida e a minimizar a probabilidade de encontros adversos. Os dois investigadores chamaram a estes movimentos “voos de Lévy viciosos” (vicious Lévy flights) e estudaram matematicamente as implicações deste modelo. Os macacos aranha só têm a lucrar com as botas mágicas do Pequeno Polegar.

RECTIFICAÇÃO: Na última crónica afirmei, erradamente, que a exposição de Escher em Évora era a primeira no nosso país. Na verdade, uma outra mostra, que desconhecia, teve lugar na Fundação Calouste Gulbenkian em Janeiro de 1982. Peço perdão aos leitores e à Fundação pelo erro, que um leitor notou e generosamente me indicou.

.
«Passeio Aleatório» - «Expresso» de 27 Nov 10

Escher em Évora

.
Por Nuno Crato

QUEM SE DESLOCAR ao Fórum Eugénio de Almeida, em Évora, terá oportunidade para ver uma sucessão surpreendente de gravuras. Algumas são paisagens, desenhadas de forma convencional, mas com um pormenor e um cuidado pouco usuais. Outras são figuras míticas — dragões, felinos com asas, castelos flutuantes. Outras ainda são jogos visuais que surpreendem o visitante, pois nunca são o que parecem ser. Há esferas que afinal são círculos, há pássaros que se transformam em campos lavrados e talhões de terreno que se transformam em aves. É um mundo de surpresas.

“A Magia de M.C. Escher”, como foi com propriedade chamada a exposição, traz até nós 50 gravuras do artista Maurits Cornelis Escher, que nasceu em 1898 na Holanda, trabalhou em Itália, Espanha, Suíça e Bélgica, e veio a falecer no seu país em 1972. É a primeira vez que uma mostra de originais deste artista tem lugar no nosso país, o que por si só justifica uma viagem até à cidade alentejana. O visitante não ficará desiludido. É uma oportunidade para ver uma retrospectiva de trabalhos que vão desde 1927, quando o jovem Maurits desenhava paisagens, até 1965, quando estava completamente absorvido num mundo interior de figuras impossíveis e de abstracções dominadas pela ideia de infinito.

A grande viragem deste artista dá-se entre 1934 e 1937, quando deixou o sul da Europa, que o absorvia pelas suas paisagens, e se deslocou para a Suíça, a Bélgica e, finalmente, a Holanda. Na passagem por estes países, deixou progressivamente de se inspirar no mundo visual externo e começou a empenhar-se em construções mentais abstractas, que expressam conceitos matemáticos. Foi a partir daqui que as suas gravuras ganharam um cunho próprio, sem par no munda das artes visuais.

Entre 1937 e 1945, no que o seu biógrafo Bruno Ernst designa como “período das metamorfoses”, Escher construiu motivos que gradualmente se transformam noutros. É disso exemplo a gravura “Sky and Water I”, em que pássaros se transformam em peixes e peixes se transformam em pássaros. Nesta exposição há várias obras deste período, incluindo o celebérrimo “Magic Mirror” em que dragões tridimensionais se esvaem numa superfície plana, apenas para reaparecerem a três dimensões do outro lado do espelho.
No chamado “período das perspectivas”, que decorre de 1946 a 1956, Escher explora ângulos pouco habituais. Leva a ilusão da observação fotográfica ao limite, juntando na mesma figura imagens que corresponderiam a pontos de observação distintos.

Finalmente, no seu “período das aproximações ao infinito”, entre 1956 e 1970, o artista holandês explora repetições de motivos, aparentemente sem limites, e desenvolve várias figuras impossíveis.

Ao longo da vida, Escher foi estudando o contraste entre a ilusão tridimensional que a perspectiva nos fornece e a realidade plana da superfície a que os desenhos estão confinados. São temas geométricos a que se juntam muitos temas matemáticos, como a banda de Moebius, uma superfície que tem um lado apenas, as curvas loxodrómicas de Pedro Nunes, as pavimentações do plano e os cinco sólidos platónicos. Não é de espantar que os matemáticos gostem de Escher. O que é fabuloso neste artista é que todos, incluindo as crianças, se maravilham com a sua arte.

.
«Passeio Aleatório» - «Expresso» de 20 Nov 10 (adapt.)

O tempo e a falta dele

.
Por Nuno Crato

MAIS UMA VEZ, ao ir levar um amigo estrangeiro ao comboio, esqueci-me de escolher a velha estação de Santa Apolónia e fui levá-lo à Gare Oriente. Má escolha! Não tive outro remédio se não sair do carro e acompanhá-lo — ele jamais descobriria a tempo onde são as bilheteiras. Comprámos a passagem e levei-o à escada para a plataforma. O meu amigo olhava em volta, confuso, e perguntou-me: «Quanto tempo falta?»

Reparei então que não havia nenhum relógio à vista e amaldiçoei de novo a escolha. Em Santa Apolónia não haveria dúvida: o relógio está à vista de todos, no local onde todos o procuram, no centro, bem no topo, comandando tudo. Assim deveria ser.

É curioso que a hora, tal como hoje a conhecemos, uniformizada em 1884 com fusos referidos ao Meridiano de Greenwich, é ela própria resultado dos caminhos de ferro. Antes de os comboios encurtarem distâncias e terem horários a cumprir ao minuto, cada terra tinha a sua hora, com uns minutos de diferença das cidades colocadas a oeste ou a leste. Isso pouco importava. Cada um podia seguir a sua hora solar. Em 1800, havia algum problema que um cidadão de Évora chegasse cinco minutos atrasado a um encontro em Lisboa?

Meio século mais tarde, as viagens de comboio chocaram com essa dispersão horária. Era muito aborrecido estar sempre a acertar os relógios de bolso, que já então estavam difundidos entre os viajantes. Podia-se perder um comboio na estação de transferência simplesmente por a hora local estar uns minutos desfasada da hora no local de partida. Algumas estações obviavam o problema tendo vários relógios. É o caso das estações suíças, que tinham nas gares a hora de Berna, de Lucerna, de Zurique, de Genebra… todas diferindo umas das outras apenas por uns minutos.

A paixão dos suíços pelos relógios é proverbial. E há um historiador de ciência moderno — Peter Galison, de Harvard — que diz que a passagem de Einstein por Berna, entre 1902 e 1909, pode ter sido decisiva para a criação da teoria da relatividade. Galison explica o problema num livro fascinante — «Mapas de Poincaré e Relógios de Einstein» — publicado em Portugal pela Gradiva. A coincidência, pelo menos, existe. O grande físico formulou a relatividade restrita em 1905, num artigo publicado três anos depois de ter chegado à cidade dos relógios. É verdade, os relógios estão presentes em todas as ruas de Berna.
Há a célebre Torre do Relógio, bem no centro da cidade, a uns três minutos da casa que Einstein e a sua mulher, Mileva, ocuparam na Kramgasse, uma das artérias centrais da cidade, e parte do seu percurso diário para a repartição de patentes onde trabalhava. A casa está hoje transformada num museu e o relógio continua a funcionar, coloridamente, com marionetes que se movimentam e um galo mecânico que cacareja, para gáudio dos turistas que se amontoam na rua, à espera que o relógio bata as horas.

A Torre foi construída no século XIII e o relógio no princípio do século XVI. Em 1905, já estava coordenado electricamente com o sistema de relógios públicos da cidade, com um sistema que terá feito Einstein pensar se a simultaneidade dos acontecimentos é um conceito extensível a todos os sistemas físicos.

Mas a grande marca da paixão pelo tempo encontra-se um quinhentos metros a sul, dentro da catedral da cidade. Incrustada no púlpito está uma velha ampulheta, que o padre deverá rodar antes de começar o sermão. Não convêm que se alongue para além do razoável. O tempo é para usar, não é para perder.
.

«Passeio Aleatório» -«Expresso» de 13 Nov 10 (adaptado)

Constance Reid, a escritora que os matemáticos admiram

.

Por Nuno Crato

NA SEMANA PASSADA, o New York Times noticiava «Constance Reid, biógrafa de matemáticos, morre aos 92 anos». Lembrei-me do primeiro livro que li dessa grande autora. Foi «Hilbert», uma biografia do matemático alemão que dominou o panorama da matemática e da física no dobrar do século XIX para o XX. Creio que nenhum livro me ensinou tanto sobre história da ciência moderna como esse. Aprendi o papel que teve a criação de centros de investigação no século XIX; percebi como David Hilbert (1862–1943) criou um centro de investigação excepcional em Goettingen e como a escola que daí surgiu influenciou o rigor da matemática e da física nas décadas seguintes; entendi como Hilbert, ao enunciar em 1900 os 23 problemas maiores da matemática, definiu uma agenda de investigação que dominou o século XX e que ainda hoje influencia a investigação. Foi uma leitura fascinante.

Procurei outro livro da mesma autora e li «Courant», a biografia de um aluno de Hilbert que se tornou o seu principal apoio na organização do Instituto de Goettingen e que, mais tarde, em Nova Iorque, organizou o instituto que hoje tem o seu nome. Richard Courant (1888–1972) foi um grande matemático e um grande organizador — duas qualidades que só muito raramente se reunem na mesma pessoa.

Nesses livros de Constance Reid encontra-se uma mistura de factos humanos e de referências científicas que mergulham nas aventuras intelectuais do século XX e que nos fazem perceber a importância dos debates entre as grandes escolas. Percebe-se, por exemplo, a crença que David Hilbert tinha no poder da matemática. O seu epitáfio é constituído por uma frase célebre, que pronunciou em 1930 no seu último discurso público: «Wir müssen wissen. Wir werden wissen.» — «Temos de conhecer. Haveremos de conhecer.»

Foi o culminar da escola formalista, que pensava ser possível, com um conjunto de axiomas e regras formais, desenvolver inequivocamente toda a matemática. Curiosamente, um dia antes do discurso de Hilbert, o lógico Kurt Goedel deu um golpe fatal na ambição mais extrema de Hilbert ao mostrar que, qualquer que seja o sistema formal de base e as regras que se estabeleçam, há sempre factos matemáticos que não podem ser provados no interior desse sistema.

O nazismo e a guerra, entretanto, intervieram. Goedel refugiou-se nos Estados Unidos e é pouco provável que Hilbert alguma vez tenha tido a possibilidade de repensar a sua formulação. É também pouco provável, no entanto, que a sua confiança no poder da matemática pudesse ser abalada. Tampouco foi abalada nos grandes matemáticos que lhe seguiram. Esta história foi também contada por Constance Reid, mas uma versão mais moderna encontra-se no livro «Incompletude» de Rebecca Goldstein traduzido para português em 2009, pela Gradiva.

Antes de enveredar pela biografia de matemáticos, Constance Reid, que era professora de inglês e nunca tinha estudado matemática avançada, escreveu uma memória dos seus tempos de guerra numa fábrica de bombardeiros onde trabalhou. Em parte por influência da sua irmã, uma célebre matemática norte-americana, dedicou-se à popularização científica, tendo escrito «A Long Way from Euclid» e «From Zero to Infinity». Mas os seus maiores sucessos foram as biografias de matemáticos. A última, publicada em 1996 é uma homenagem à irmã, escrita na primeira pessoa. Chama-se «Julia Robinson: A Life in Mathematics». Tal como todos os seus outros livros, é uma obra esclarecedora e profundamente humana que mereceria ser traduzida e lida.

.
«Passeio Aleatório» - «Expresso» de 6 Nov 10

Ruído ainda mais branco

.

Por Nuno Crato

SE O LEITOR começar a dizer palavras ao acaso, rapidamente reparará que se repete. O acaso é difícil de atingir. O mesmo acontece se quiser inventar números aleatórios. Pode fazer a experiência. Construa, por exemplo, uma sequência de números inteiros com dois dígitos. Teste-os depois num dos vários instrumentos que pode encontrar online (procure no Google, por exemplo, em “test for randomness”). Verá que é difícil passar a prova.

Tudo isto seria apenas uma curiosidade se o acaso não fosse necessário. Mas é. Obter números aleatórios tornou-se imprescindível para organizar amostragens industriais, para realizar sondagens e, mais recentemente, para proceder a trocas seguras de informação. Sempre que o leitor faz uma compra pela Internet ou ordena uma transferência, o sistema gera automaticamente números aleatórios para garantir que há uma chave criptográfica nova que codifica a informação. É desta forma que se impedem os ciber-piratas de recolherem os dados das transacções e penetrarem na sua conta bancária.

Felizmente, inventaram-se processos matemáticos recursivos para gerar números ao acaso. Na realidade, estes processos não geram números verdadeiramente aleatórios, mas sim números pseudo-aleatórios, como se diz, pois são construídos de forma determinística. Isso acaba por não ser importante, pois quando passam todos os testes estatísticos tornam-se indistinguíveis de sequências verdadeiramente aleatórias.

As sequências de números verdadeiramente aleatórios, não correlacionados e com média zero, recebem o nome de “ruído branco”. É uma designação curiosa. Provém da engenharia electrotécnica, pois o espectro desse “ruído” tem componentes de todas as frequências em igual distribuição, tal como a luz branca tem todas as cores. Dito de outra forma: não se detectam ciclos particulares de repetição de padrões.

Ao princípio, os números aleatórios eram gerados em avanço e fornecidos em tabelas impressas, que os investigadores depois usavam. Tornou-se célebre um calhamaço que a empresa norte-americana RAND publicou em 1955 com um milhão de dígitos. Mais tarde, os números aleatórios começaram a ser gerados no computador à medida que são necessários. Software como o Excel tem embebido um processo de geração que, apesar de imperfeito, serve para muitas aplicações. Se o leitor escrever =RND() numa célula, por exemplo, gera um número aleatório uniformemente distribuído entre 0 e 1. Copie essa fórmula para as 50 ou 100 células abaixo. Faça um gráfico da coluna e poderá visualizar algo que se aproxima de ruído branco. Se carregar sucessivamente na tecla F9, poderá divertir-se a ver a sequência a mudar.

Recentemente, tem havido um grande interesse em inventar processos físicos de geração de verdadeiros números aleatório (“TRNG: true random number generators”). A investigação tem-se dirigido para criar ruído verdadeiramente branco, rápido de produzir e com circuitos muito elementares, de forma que possam ser incorporados em telemóveis e outros aparelhos.

No Parque Tecnológico de Belfast, um grupo de investigadores conseguiu agora criar um sistema muito mais pequeno e fiável do que os anteriores (“Electronics Letters” 46-14). A parte mais difícil foi criar o circuito electrónico simples e o processo de medir o ruído, ou seja, as oscilações imprevisíveis do circuito, e de o transformar em números aleatórios. Passa-se do calhamaço ao computador e deste a um circuito microscópio. É ruído branco feito a partir de ruído branco. Nada podia ser mais branco.

.
«Passeio Aleatório» - «Expresso» de 30 Nov 10

Uma conversa com Mandelbrot

.
Por Nuno Crato

SÁBADO DE MANHÃ, a primeira mensagem a entrar no meu computador foi lacónica. No assunto, anunciava “Benoit B. Mandelbrot has died :-(“; no corpo da mensagem havia apenas um apontador para a página do falecido matemático na Universidade de Yale. Tinha 85 anos e morreu de cancro. A missiva vinha de uma comunidade matemática de correio electrónico a que pertenço, e poucos comentários obteve. Um deles, de um colega de Mandelbrot dizia “Benoit was a very stimulating colleague. Much better to have a conversation with him than to listen to a lecture.” Lembrei-me da primeira vez que o vi. E da última. O meu correspondente tinha razão.

Tomei primeiramente contacto com o matemático Benoit B. Mandelbrot da mesma forma que muitos e muitos milhares de pessoas: lendo o seu livro “The Fractal Geometry of Nature”, de 1982. Aí, Mandelbrot desenvolveu a ideia de objecto “fractal”, termo que inventou e que rapidamente popularizou. Trata-se de um conceito matemático, de objecto que reproduz as mesmas propriedades a diversas escalas. Costuma-se dar o exemplo de uma couve-flor, ou dos bronquíolos, os pequenos canais que conduzem o ar nos pulmões. Se os virmos ao microscópio, reparamos nas mesmas características em diversas escalas. Os canais dividem-se e subdividem-se, parecendo que aumentando a visão com um microscópio se vai encontrar o mesmo que antes se via a olho nu — só que mais pequeno. Estas características de auto-semelhança em diversas escalas encontram-se muitas vezes na vida real, desde as plantas aos movimentos dos preços.

“The Fractal Geometry of Nature” foi magnificamente traduzida para português por Carlos Fiolhais e por Malaquias Lima e apareceu publicada em 1991 pela Gradiva com o título “Objectos Fractais”. O livro, como muitos do mesmo autor, é uma mistura fascinante de explicações de conceitos matemáticos, de ilustrações, de exemplos de aplicação tirados de diversas áreas do conhecimento, da hidrologia à linguística, e de referências históricas, semeadas de explicações matemáticas. Fui lendo-o, aos bocados, saltando capítulos, ao capricho dos dias. Achava-o interessante. Muito interessante. Mas apenas isso.

Mais tarde, quando estava a estudar para o doutoramento, encaminhado para os processos aleatórios e para as séries temporais, o meu orientador recomendou-me um trabalho de Mandelbrot onde este explicava como certos processos estranhos, de variabilidade infinita, podiam ter propriedades surpreendentes. Fiquei seduzido e acabei por defender uma tese nessa área. Pelo meio, encontrei Mandelbrot, em Minnesota, numa conferência. Foi em 1990 e lembro-me que não apreciei especialmente a sua palestra, que demorou mais de uma hora, em que falou de tudo, desde música a teoremas matemáticos difíceis. Pareceu-me que vagueava. Alguns amigos que também estavam na conferência diziam-me “Não sabias!? Ele é sempre assim, mas cada minuto da sua palestra dá uma ideia nova para uma tese de doutoramento.” Nos intervalos, conversei um pouco com Mandelbrot. Vimo-nos várias vezes, mas nunca tive coragem para falar muito com ele.

A minha última conversa com Mandelbrot ocorreu dez anos mais tarde. Pelo meio defendi a minha tese e publiquei vários trabalhos na área. Tivemos algumas oportunidades para interagir, mas sempre brevemente. Em 2000 fui visitá-lo a casa, nos arredores de Nova Iorque. O tempo estava magnífico e ficámos um bocado no jardim. Fomos depois ver algumas obras de arte que lhe tinham oferecido, com desenhos fractais, e sentámo-nos ao que nos trazia. Felizmente, um amigo presente em parte do encontro tirou-nos algumas fotografias; eu tomei notas e gravei partes da conversa. Fui agora recuperar umas e outras. Com um sentimento estranho. A gravação deteriorou-se e sobraram apenas pedaços entrecortados.

Falámos primeiramente do que me trazia: um trabalho que estava a finalizar sobre o comportamento de alguns algoritmos e as estatísticas dos custos de computação. “Trabalhei para a IBM durante 35 anos,” disse ele, “por isso sei que tudo o que tem a ver com computação é hoje muito importante”. A IBM foi o emprego mais longo deste matemático nascido em Varsóvia em 1924, registado francês e, mais tarde, também cidadão dos Estados Unidos. Passou pelo CNRS em Paris, pelo MIT, por Harvard e por muitas outras universidades.

Referimo-nos ao seu novo emprego na Universidade de Yale, e Mandelbrot falou entusiasmado de uma cadeira que tinha começado a leccionar para estudantes de Humanidades. “É muito importante que eles tenham contacto com a ciência e a matemática, essa possibilidade é uma das coisas boas do ensino nos Estados Unidos”.

Falámos da origem dos fractais, da razão por que se encontram em tantos objectos geométricos, físicos e sociais. Mandelbrot não tinha uma explicação completa, mas afirmou “Em ciência é muitas vezes assim: primeiro descreve-se, depois percebem-se as razões. Em muitas áreas estamos ainda a descrever a natureza.”

.
«Passeio Aleatório» - «Expresso» de 23 Out 10 (adaptado)

O dia em que a perspectiva nasceu

.
Por Nuno Crato

NÃO SE SABE qual foi o dia. Nem se sabe o ano. Há quem diga que foi em 1415 e quem afirme que foi em 1413. O dia célebre terá tido lugar em torno dessas datas. Terá sido então que o arquitecto e artista Filippo Brunelleschi terá pela primeira vez espantado os seus contemporâneos mostrando-lhes um desenho rigorosamente elaborado com os princípios da perspectiva linear.

Tal como relatou Antonio Manetti, que 50 anos depois escreveu uma biografia de Brunelleschi, o artista florentino estudou matematicamente a maneira de elaborar o desenho. Quis criar uma imagem que, vista de um ponto, aparecesse ao nosso olho muito semelhante ao objecto desenhado. Com esses estudos, fez desenhos e pinturas que os seus contemporâneos achavam estranhos. Habituados a ver as pessoas mais importantes aparecerem maiores, mesmo que estivessem mais longe, e a ver paredes e as portas desenhadas como rectângulos, os florentinos a quem Brunelleschi mostrava as suas representações ficavam espantados por verem as paredes e as portas aparecerem como trapézios. As linhas que sabiam ser paralelas apareciam nos desenhos e pinturas como linhas oblíquas, que pareciam convergir.

De facto, as linhas convergiam. Convergiam para aquilo a que se veio a chamar «ponto de fuga», pois é assim que as imagens tridimensionais se formam nas nossas retinas. Só que as pessoas da época não o sabiam.

Um dia — o tal dia! — Brunelleschi pintou uma imagem do que era o edifício mais famoso da cidade: o Baptistério de Florença. Fez na superfície um furo, de forma que se pudesse espreitar pelas suas costas. Colocou-se no sítio certo, em frente ao edifício e pediu aos amigos que espreitassem pelo furo com um só olho, observando o Baptistério. Em seguida, colocou um espelho em frente ao buraco, de forma que as pessoas vissem reflectida a tela por que estavam a espreitar. As duas visões eram praticamente indistinguíveis. O edifício estava tão bem pintado, e com a perspectiva tão bem desenhada, que observá-lo reflectido daquela posição ou observar o edifício tridimensional era praticamente a mesma coisa. O artista deu-se ainda a requintes. Na imagem que tinha pintado espelhou o céu, de forma que os observadores viam as nuvens em movimento, o que aumentava a ilusão.

Gosto desta história, pois ela explica como a descoberta da perspectiva linear foi um ponto de viragem nas representações renascentistas. A narrativa é rica, pois situa historicamente esta viragem da arte e salienta que foram os conhecimentos matemáticos de Brunelleschi, um homem que tinha estudado numa «escola de ábaco», que permitiram essa revolução. Mostra ainda que aquilo que é para nós natural hoje, na era da fotografia e do cinema, era na altura surpreendente. Conheço o edifício em Florença, tal como muitos milhões de pessoas em todo o mundo, e imagino a cena.

É claro que a realidade é mais complexa, que a perspectiva linear foi descoberta pouco a pouco pelos pintores do Renascimento, nomeadamente por Giotto, e que tem já antecedentes na arte grega, conforme mostram algumas referências de Platão aos cenários de peças de Sófocles e de Ésquilo. Isso tudo é certo, mas não abala em nada o poder desta fascinante história.

Estive há dias a ler um texto que «desconstrói» esta narrativa e fala da «construção social» da «construção da perspectiva». Não aprendi nada com essa crítica da «mística simplificadora da narrativa», que afinal não põe em causa a sua veracidade. Mas aprendi muito com a história. Vou continuar a contá-la.

.
«Passeio Aleatório»- «Expresso» de 9 Out 10 (adapt.)

Cabeças relativistas

.

Por Nuno Crato

AINDA HÁ ALGUMAS décadas, sempre que se falava da teoria da relatividade e das suas previsões sobre a dilatação do tempo ou a contracção dos objectos em movimento, dizia-se que se tratava de pequenas modificações, impossíveis de verificar na escala quotidiana.

Einstein descobriu, por exemplo, que o tempo passa mais lentamente nos locais onde a gravidade é mais forte e nos objectos em movimento. Mas os efeitos previstos são muito pequenos. Por exemplo, se compararmos dois relógios, um junto ao mar e outro a mil metros de altitude, o mais baixo atrasa-se em relação ao outro cerca de três segundos em cada milhão de anos. E não se trata de um problema dos relógios. É o próprio tempo que anda mais devagar em locais em que a força gravítica é maior. Mas o efeito é muito pequeno. Para se notarem os efeitos previstos por Einstein, seriam necessárias velocidades perto da da luz ou então escalas astronómicas. A verificação experimental das diversas previsões revelou-se difícil, mas foi sendo conseguida aos poucos.

Fizeram-se experiências com relógios muito precisos colocados em satélites e com átomos e partículas em aceleradores. Quando se montou o sistema GPS, já foi necessário introduzir nos cálculos as chamadas correcções relativistas, pois os relógios dos satélites evoluem num tempo diferente do que se regista à superfície terrestre. Sem essas correcções, acumular-se-iam enormes erros na posição estimada e o GPS tornar-se-ia inútil.

Os relógios instalados nos satélites do sistema GPS são atómicos, baseiam-se na medida da oscilação de átomos de Césio ou de Rubídio. Têm uma precisão da ordem de um segundo em um milhão de anos. Só assim o sistema pode ser preciso. Sendo isto espantoso, em 2009 e 2010 conseguiram-se construir relógios atómicos empregando átomos de Alumínio que têm uma precisão muito maior: um segundo em 3,7 mil milhões de anos. Com relógios tão precisos seria teoricamente possível medir as diferenças de tempo provocadas pela gravidade da Terra em objectos à sua superfície.

A semana passada, num artigo publicado na revista “Science” (doi: 10.1126/science.1192720), um grupo de investigadores do Instituto Nacional de Standards e Tecnologia (NIST), dos Estados Unidos, fez precisamente isso. Usando relógios atómicos de átomos de Alumínio, conseguiram verificar as diferenças no tempo entre dois relógios situados apenas 33 cm um acima do outro. As diferenças de tempo corresponderam com grande precisão ao previsto pela teoria da relatividade.

Isto quer dizer que, com estes relógios, se nos pusermos de pé podemos verificar a diferença de tempo entre os nossos pés, os nossos joelhos, a nossa barriga, o nosso peito e a nossa cabeça. O tempo anda mais devagar nos nossos pés, que estão mais perto do solo, e mais depressa na cabeça. Mas não nos entusiasmemos. A diferença é da ordem de um décimo milionésimo de segundo ao fim de 80 anos. Nada que se perceba. Por isso, leitor, se sentir a cabeça a acelerar, não deite as culpas sobre Albert Einstein.
.

«Passeio Aleatório» - «Expresso» de 2 Out 10 (adaptado)

Econometria da educação

.

Por Nuno Crato

UMA DAS DESCOBERTAS mais surpreendente dos modernos estudos sociais quantitativos é a «não existência de uma relação sistemática nem de relações forte entre os gastos da escola e o desempenho dos estudantes». A frase é de Erik Hanushek, um dos principais fundadores da chamada «economia da educação», uma área académica que recorre a métodos estatísticos e a conceitos e modelos de economia para estudar o ensino.

A descoberta é surpreendente e perturbante, pois uma das premissas habituais dos responsáveis educativos é a de que, colocando mais meios à disposição da escola — por exemplo, computadores — ela educará melhor os seus alunos. Mas não é nem surpreendente nem perturbante para quem nela trabalha. Claro que há sempre recursos que faltam e que é importante, por exemplo, melhorar o acesso às modernas tecnologias. Mas o essencial é a formação dos professores, os pais, a boa estruturação e a exigência dos programas, a qualidade dos manuais, o rigor da avaliação e outros factores da actividade lectiva.

Recentemente, como já aqui referimos, um grupo de investigadores da Universidade Duke, na Carolina do Norte, (www.nber.org/papers/w16078.pdf) analisou uma amostra gigantesca, de 150 mil estudantes, seguidos ao longo de cinco anos, concluindo que os jovens não melhoram os seus conhecimentos pelo simples uso de computador pessoal. Os rapazes têm mesmo a algum retrocesso escolar, um retrocesso modesto, mas estatisticamente significativo.

Mais recentemente ainda, investigadores do Instituto Superior Técnico e da Universidade de Carnegie Mellon, estudaram os resultados da introdução de banda larga nas escolas portuguesas. Analisaram mais de 900 escolas entre os anos 2005 e 2009 e registaram as classificações dos alunos no 9.º ano de escolaridade. Construíram um modelo de “função de produção” com base nas “primeiras diferenças”, de onde extraíram as suas conclusões.

Uma função de produção é uma função matemática que relaciona os resultados com os recursos e que pode ser estimada com instrumentos estatísticos estudados em econometria. A equação que os investigadores utilizaram não é linear e os interessados poderão analisá-la em papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm?abstract_id=1636584 . O método das “primeiras diferenças”, por seu turno, é a consideração dos incrementos em vez dos valores originais. Ou seja, em vez de comparar as notas com o uso da internet, compara-se o aumento ou a diminuição das notas com o aumento ou a diminuição do uso da internet ao longo dos anos. Tentam-se assim isolar os factores em estudo, eliminando a influência de condicionantes perturbadoras, como a qualidade das escolas ou os rendimentos das famílias.

O que os investigadores verificaram foi que as escolas em que mais tinha aumentado o uso da internet foram aquelas em que os resultados escolares mais diminuíram. Notaram ainda uma tendência, embora menos evidente, a que os resultados piorassem mais nas escolas piores, aquelas em que o acesso à internet terá, possivelmente, sido menos bem enquadrado.

Os resultados são provisórios, limitados a uma série curta, que apenas mede um primeiro efeito, e sujeitos à crítica, como tudo em ciência. Mas é encorajador que os temas de educação sejam estudados com este rigor quantitativo. Hanushek, Daniele Checchi, William Schmidt e outros grandes nomes da economia e econometria da educação estarão em Portugal em Janeiro (cemapre.iseg.utl.pt/events/1e3). Será interessante ver como esta área está desenvolvida entre nós e que resultados serão apresentados.

.
«Passeio Aleatório» - «Expresso» de 25 Set 10

O peso de Júpiter, e o seu

.

Por Nuno Crato

SE O LEITOR tem o hábito de olhar para o céu nocturno após o pôr do Sol, terá certamente reparado que aparecem agora nele dois pontos de luz muito brilhantes. A oeste, vê-se Vénus descer lentamente para o horizonte. A leste, vê-se Júpiter levantar-se. Cerca das nove, é possível comparar os dois planetas em lados opostos do céu. São inconfundíveis; não haverá nenhum astro no céu nocturno com brilho comparável.

Ambos estão a grande distância da Terra. Nenhum ser humano os observou de perto. No entanto, sabemos muito sobre eles sem precisar de os os alcançar. Sabemos, por exemplo, a sua massa. Segundo um novo método ontem publicado por um grupo de astrónomos (doi: 10.1088/2041-8205/720/2/L201), conseguimos medir a massa de Júpiter com um erro inferior a uma parte em dez milhões. É uma precisão impressionante, que envergonha as nossas balanças. Se o leitor, imaginando que tem cerca de 70 quilogramas, quisesse medir o seu peso com precisão equivalente, teria de comprar uma balança que fosse sensível ao peso de um pequeno grão de açúcar. Quer dizer: os astrónomos conhecem a quantidade de matéria de Júpiter com maior precisão do que o leitor conhece a sua.

O novo método baseia-se numa ideia surpreendente. Os astrónomos usaram um dos relógios naturais mais precisos que se conhece: os pulsares. Essas estrelas rodam sobre si próprias a tremenda velocidade emitindo feixes de luz — funcionam como faróis que emitem sinais a intervalos muito regulares. Recebendo os sinais de alguns pulsares conhecidos, os astrónomos notaram que eles se atrasam e adiantam com alguma regularidade. O movimento da Terra em torno do Sol, aproximando-nos e afastando-nos do pulsar, é responsável pelo avanço e atraso desses sinais.

Até aqui, nada de estranho. Mas os astrónomos repararam que há irregularidades cíclicas no atraso e no avanço da luz dos pulsares que não correspondem ao que é explicável pelo movimento elíptico do nosso planeta. É que não somos os únicos a orbitar o Sol. Os outros planetas, nomeadamente Júpiter, exercem o seu efeito gravítico sobre o conjunto do sistema solar, de forma que o nosso movimento no espaço é condicionado pelos seus.

Aqui, os astrónomos recorreram a uma técnica matemática que agora fez 200 anos: a chamada análise de Fourier. Com essa técnica, é possível analisar todas as observações de atrasos e avanços ao longo dos anos e ver quais são as que se repetem em sintonia com os ciclos de cada planeta. Imagine o leitor que tocava num piano cinco teclas ao mesmo tempo. Com a análise de Fourier, podia decompor o som resultante, filtrando à vez, cada uma das notas. O piano tocava as cinco teclas, o som era recebido num microfone, transformado num computador e, à saída dos altifalantes, aparecia apenas uma à sua escolha. Parece ficção, mas é a realidade. Foi assim que as televisões tentaram filtrar o irritante som das vovuzelas durante as transmissões do mundial. Por vezes com pouco sucesso, reconheça-se.

Para os astrónomos, a música é dada pelas oscilações de posição dos astros. Conseguindo decompô-las, conseguem medir o efeito de cada planeta no movimento do sistema solar no seu conjunto. Com isso, calculam a massa de cada planeta. É simples! Esta noite, ao olhar para Vénus e para Júpiter, lembre-se que a massa desses planetas é mais fácil de medir do que a sua, caro leitor.

.
«Passeio Aleatório» - «Expresso» de 11 Set 10

Estrelas cintilantes

.

.

Por Nuno Crato

NO ÁLBUM de Hergé “Explorando a Lua”, o jovem repórter Tintim surpreende-se quando desembarca no nosso satélite e vê um céu negro e uma multidão de pontos luminosos fixos. O céu aparecia-lhe muito diferente do que conhecia sobre a Terra. Não só o fundo estava mais escuro, como as estrelas não cintilavam. Assim acontece na Lua, como os astronautas que nela posteriormente estiveram confirmaram. Hergé sabia-o, apesar de na altura em que concebeu e desenhou a viagem de Tintim e dos seus companheiros, nenhum ser humano ter ainda pisado o nosso satélite. Sabia-o porque os físicos e os astrónomos conheciam bem os efeitos na atmosfera terrestre na visualização dos astros. Mesmo sem sair da Terra, era possível prever como seriam vistas as estrelas sobre a Lua.

Tudo isto pode parecer banal, mas sempre me maravilhou. Li as aventuras de Tintim antes e depois de o homem ter ido à Lua pela primeira vez, há 41 verões. E ainda hoje me surpreendo, ingenuamente, com a segurança com que se podia prever a visibilidade das estrelas na Lua, um mundo a 384 mil quilómetros de distância e em que nunca se tinha estado.

O tremeluzir das estrelas é produto da turbulência da atmosfera terrestre. A elevação do ar quente, as correntes atmosféricas, a contínua mistura de ar de diferentes densidades, tudo isso faz com que a luz não viaje exactamente em linha recta, mas mude ligeiramente de direcção antes de chegar até nós. A luz, que num momento nos chega de uma direcção determinada, passa, em fracções de segundo, a aparecer de uma direcção ligeiramente diferente.

O tremeluzir é muito intenso porque as estrelas estão tão longe de nós que o que nos chega é apenas um ponto de energia em oscilação permanente. Vistas através do telescópio, continuam a tremeluzir, mas não aumentam. Parecem mesmo diminuir, pois tem-se delas uma visão mais nítida. Este fenómeno espantou os primeiros que usaram telescópios. Quem ler o relato de Galileu publicado no seu “Sidereus Nuncius” (O Mensageiro das Estrelas) verifica a surpresa que o físico italiano teve quando viu que, no seu instrumento, as estrelas não só não apareciam maiores como se apresentavam despidas da sua “cabeleira” difusa. Sobre este e outros temas dessa obra magistral, vale a pena ler o magnífico estudo de Henrique Leitão que introduz a recente edição portuguesa da Gulbenkian.

Muito recentemente, físicos, astrónomos e engenheiros, percebendo a origem do cintilar das estrelas, conseguiram progressos extraordinários num novo estilo de instrumentos que usam aquilo que se designa como “óptica adaptativa”. A ideia, que tem já algumas dezenas de anos, consiste em deformar continuamente o espelho do telescópio de forma a compensar o ziguezague dos raios luminosos que nos chegam das estrelas. As dificuldades técnicas são tremendas, mas uma equipa da Universidade do Arizona conseguiu agora um sucesso extraordinário com um novo sistema óptico.

O novo instrumento, situado no monte Hopkins, perto de Tucson, envia para o espaço um raio laser contínuo e analisa-o através do próprio telescópio. Um computador recebe o sinal e calcula a deformação necessária ao espelho para corrigir a direcção do raio vista através do telescópio. Envia as necessárias instruções para um sistema de 336 electroímanes colocados atrás do espelho, que o deformam continuamente.

Os resultados são magníficos. As estrelas vêm-se tão nítidas como com um telescópio situado fora da Terra. Tintim já não precisaria de ir à Lua para ver as estrelas paradas.
.

«Passeio Aleatório» - «Expresso» de 4 Set 10 (adaptado)

Cientistas cidadãos

.

Por Nuno Crato

UM CASAL NORTE-AMERICANO da pacata cidade de Ames, Iowa, e um alemão que trabalha na universidade Mainz acabam de descobrir uma nova estrela de neutrões. A descoberta tem alguma importância pois essa estrela, um pulsar, tem características pouco comuns. No entanto, nenhum dos três descobridores é astrónomo. Nenhum deles é sequer cientista. O casal norte-americano, Chris e Helen Colvin, trabalha em tecnologias da informação e o alemão, Daniel Gebhardt, é analista de sistemas. O que os três têm em comum é terem computadores à sua disposição e terem aderido a um programa de computação partilhada em que se inscreveram 250 mil voluntários de 192 países.

Esse programa, Einstein@home (Einstein em casa), é organizado pela Universidade de Wisconsin, em Milwaukee, e pelo Instituto Max Plank, em Hanover. Desde 2005 que tem analisado dados recolhidos pelo observatório LIGO e, a partir de 2009, também pelo Radiotelescópio de Arecibo. Os voluntários limitam-se a doar tempo de computação do seu PC, que vai fazendo cálculos enquanto está em repouso de outras tarefas.

Os dados enviados aos voluntários são sinais de ondas hertzianas provenientes de várias áreas do céu. Para descobrir um pulsar, que é uma estrela de neutrões que roda sobre si própria lançando para o espaço feixes de ondas, é preciso analisar os sinais rádio recolhidos ao longo dos dias e verificar se, em algum ponto do céu, há sinais que se repetem com regularidade. Esta estrela roda sobre si própria 41 vezes por segundo, um feito que custa a visualizar mas que é relativamente comum no universo. É raro que uma estrela que rode a esta velocidade esteja sozinha no espaço, como é o caso da agora descoberta. Habitualmente, encontram-se estrelas duplas. Os astrónomos especulam que se possa tratar de um pulsar com um campo magnético muito mais fraco que o usual. O estudo continuado da estrela pode dar novos dados sobre a formação desses estranhos objectos do cosmos.

Chegar a esta descoberta parece simples: basta analisar os sinais vindos de aquele ponto determinado do espaço. O que acontece é que há tantos dados e provenientes de tantos pontos do espaço que é necessário um poder de computação gigantesco para os analisar. Daí o interesse da computação partilhada, com muitos milhares de voluntários do mundo inteiro.
Esta situação é completamente nova e só surgiu nos finais do século XX. Até então, as dificuldades da pesquisa científica resultavam, em grande parte, da falta de dados. Galileu descobriu os satélites de Júpiter com meia dúzia de observações. E o primeiro asteróide foi descoberto apenas com 16 registos, daí a grande dificuldade que em seguida se teve para o voltar a localizar no céu. Hoje, tudo mudou.

Hoje, se o leitor quiser também descobrir um pulsar ou colocar o seu computador ao serviço da ciência, basta-lhe ir ao sítio boinc.berkeley.edu e descarregar o programa apropriado. Pode contribuir para cálculos sobre o clima, pode tentar descobrir sinais inteligentes extra-terrestres, e pode encontrar uma estrela de neutrões. Também pode acontecer — e é o mais provável — que coloque a sua máquina a mastigar dados sem fim sem nunca ouvir o grito de “eureka”. Mas terá a compensação de saber que, enquanto o seu computador ocupa assim o tempo, outros evitarão estudar os mesmos dados e terão, portanto, tempo para fazer alguma descoberta. No fundo, o leitor também contribui para a ciência. E fica com um bonito “savescreen”.

«Passeio Aleatório» - «Expresso» de 21 Ago 10

O código numérico de Platão

.

Por Nuno Crato

FOI ANUNCIADO nos meios académicos que Jay Kennedy, um historiador de ciência da Universidade de Manchester, acaba de descobrir o “código secreto” do mais famoso dos filósofos gregos. O seu estudo foi publicado na revista “Apeiron”, dedicada ao estudo da filosofia e ciência da Antiguidade, e é anunciada pelo próprio como o começo da descoberta da “filosofia escondida de Platão”.
Jay Kennedy, um filósofo que estudou matemática em Princeton e Stanford antes de se dedicar aos estudos clássicos, baseia-se essencialmente na contagem das linhas dos textos gregos. A ideia pode parecer estranha, mas há várias razões que tornam comum este tipo de análise. Tão comum que constitui uma disciplina estabelecida, que dá pelo nome de “esticometria” (“stíchos” é linha, fila ou verso em grego).

A contagem das linhas era usual na antiguidade pois os escribas eram habitualmente pagos à linha e o número de linhas de um manuscrito era o que dava uma medida rigorosa do seu tamanho. A contagem de linhas era também usada para verificar se as cópias estavam conformes aos originais. Por tudo isto, não será irrealista esperar que os manuscritos gregos antigos que reproduzem os escritos de Platão estejam organizados de forma semelhante à que o autor originalmente lhes deu.
Com a possibilidade de tratamento digital das imagens e de contagem automática de partes de um texto, a esticometria desenvolveu-se imenso; mas só agora, com Jay Kennedy, foi feito um estudo sistemático de todas as obras conhecidas de Platão. O estudioso confirmou que os diálogos estão organizados na base de múltiplos de 12, conforme outros já tinham intuído. Assim, a Apologia tem cerca de 1200 linhas, Protágoras, Crátilo, Filebo e o Simpósio 2400, Górgias 3600 e a República 12000. E descobriu que as passagens mais dramáticas aparecem entre o oitavo e o décimo doze avos de cada obra. Reparou ainda que os temas estão colocados no que parece ser o equivalente a uma escala musical, também ela baseada em 12 notas de uma oitava. Assim, os temas virtuosos aparecem em posições que correspondem a notas harmónicas, enquanto os temas negativos estão em posições que correspondem a dissonâncias musicais.

Todas estas afirmações parecem estar solidamente apoiadas nos números, embora haja sempre alguma subjectividade na marcação das passagens. O que talvez não seja tão extraordinário são os ajustamentos aos doze avos. Com efeito, 1/2, 1/3, 1/4 e 1/6 são todas fracções que podem ser expressas em doze avos: 6/12, 4/12, 3/12 e 2/12. É natural que fracções de 12 se encontrem frequentemente ao procurar partes de um todo.

A base 12 seria, aliás, uma base de numeração mais conveniente que a de 10, que hoje usamos. Por alguma razão nas medidas imperiais um pé tem doze polegadas e ainda hoje o mostrador de um relógio se subdivide em 12 horas. Isso acontece porque 12 tem muito mais divisores do que 10. Consideremos apenas os divisores próprios, isto é, os inteiros que dividem um número e que não são nem a unidade nem o próprio número. Enquanto 10 apenas é divisível por 2 e por 5, 12 é divisível por 2, 3, 4 e 6. O número 12 é o que se chama um “número abundante”, pois a soma dos seus divisores próprios excede-o (2 + 3 + 4 + 6 = 15 > 12). É, aliás, o mais pequeno número abundante. Não é de espantar que as fracções com 12 no numerador abundem na esticometria de Platão. Esperemos, para ver se Jay Kennedy está na pista de algo verdadeiramente interessante.

«Passeio Aleatório» - «Expresso» de 9 Ago 10

A lâmpada de pirilampos

.
Por Nuno Crato

QUANDO LIA as histórias do Tio Patinhas e do Pato Donald, uma das minhas personagens favoritas era o Professor Pardal. Era um inventor prodigioso, que construía lâmpadas escuras para escurecer lugares claros, vassouras mecânicas para escovar fatos, banheiras com mãos mecânicas que ensaboavam as pessoas e outros aparelhos fabulosos.

Uma das invenções do professor Pardal era um cata-pirilampos. Era uma espécie de computador que observava os voos desses insectos, registava a sua posição nos momentos em que estavam luminosos e previa onde eles iriam aparecer na próxima luminescência. Aí, o Professor Pardal tinha uma espécie de ratoeira voadora que os aprisionava. O invento era muito prático… depois de ter capturado umas centenas de pirilampos numa gaiola, o nosso inventor usava-os como lâmpada para iluminar o seu laboratório.

Descobri mais tarde que o preditor de voo dos pirilampos tinha uma correspondência real no trabalho de dois grandes matemáticos: o russo Andrei Kolmogorov e o norte-americano Norbert Wiener. No tempo da Segunda Grande Guerra, trabalhando isoladamente, cada um deles resolveu o problema de prever uma trajectória (por exemplo, de um avião inimigo) com base em observações com ruído e possivelmente espaçadas (por exemplo, observações de radar). O movimento de um pirilampo, que apenas se observa por comparação das suas posições nos curtos momentos em que está luminoso, é um bom exemplo desse problema. O Professor Pardal sabia do que falava.
No que o inventor se iludia era na possibilidade de ter uma lâmpada de pirilampos de luz contínua. Imaginava que, iluminando-se os insectos aleatoriamente, em qualquer momento haveria sempre alguns pirilampos acesos e, por isso, a luz total não piscaria. Era uma boa ideia, mas uma ideia irrealista.

Com efeito, desde meados do século XX que os biólogos têm vindo a descobrir que há alguma sincronia na iluminação dos pirilampos. Os insectos não produzem luz independentemente uns dos outros. Quando estão a distâncias em que se podem observar mutuamente, começam a piscar em simultâneo. Por vezes, o fenómeno é espectacular. Observe-o o leitor numa destas noites de Verão: quando há muitos pirilampos numa área, há momentos em que todos ou quase todos se iluminam ao mesmo tempo e a noite se acende de pontos luminosos.

As razões do fenómeno não são ainda entendidas, mas uma experiência recente, relatada na revista “Science” (DOI: 10.1126/science.1190421), traz alguma luz a este fenómeno. Dois biólogos norte-americanos colocaram pirilampos fêmea num recipiente e observaram a sua reacção a luzes cintilantes que simulavam pirilampos macho. Quando as luzes estavam sincronizadas, a reacção luminosa das fêmeas era muito forte. Quando as luzes piscavam desordenadamente, as fêmeas mantinham-se indiferentes.

Os biólogos especulam que a sincronização dos machos é uma estratégia que facilita a identificação de cada insecto e o sucesso da correspondente atracção sexual. Se os machos piscassem de forma desordenada, as fêmeas teriam dificuldades em seguir um deles em particular, pois seria difícil perceber a sua posição. Com as luzes sincronizadas, é mais fácil perseguir um macho.

Percebe-se por que razão a lâmpada de pirilampos do Professor Pardal seria útil como pisca-pisca, mas não para iluminar o seu trabalho. Quem diria que havia sexo à mistura?

«Passeio Aleatório» - «Expresso» de 7 Ago 10 (adapt.)

Computadores no ensino

.

Por Nuno Crato

TIRAR CONCLUSÕES fiáveis sobre as causas de fenómenos sociais é notoriamente difícil. O físico Richard Feynman salientava a dificuldade com que os físicos tiram conclusões a partir de estudos muito rigorosos, feitos por dezenas de cientistas e nas mais variadas condições laboratoriais. E contrastava essa dificuldade com o desembaraço com que alguns sociólogos parecem tirar conclusões a partir de dados vagos e controversos. «Tenho a vantagem de saber como é difícil descobrir verdadeiramente alguma coisa», dizia, «como se tem de ser cuidadoso a verificar as experiências, como é fácil errarmos e enganarmo-nos».

Nos estudos sociais, uma das razões por que é fácil errarmos e enganarmo-nos é o facto de os dados misturarem tantas variáveis que o efeito daquelas que queremos estudar é facilmente ofuscado por outras que lhes vêm associadas. É muito difícil, por exemplo, saber se a introdução de computadores no ensino melhora ou prejudica a aprendizagem, pois ao mesmo tempo que são introduzidos os computadores são feitas outras mudanças e não se sabe se for por estes ou por aquelas que as melhorias ou os retrocessos aconteceram. Também é difícil saber se os jovens que estudam em casa com recurso a computadores têm, só por esse facto, uma vantagem significativa. As famílias com posses para oferecer computadores aos filhos também lhes oferecem outros recursos de estudo (explicadores, mais acesso à cultura, melhores condições de vida).

Num estudo recente, um grupo de investigadores da Universidade Duke, na Carolina do Norte, nos Estados Unidos, procurou ultrapassar estas dificuldades [ver aqui]. Analisou uma amostra gigantesca, de 150 mil jovens, seguidos ao longo de cinco anos. Os dados permitiram observar os resultados dos alunos em matemática e na leitura em dois momentos: antes e depois da introdução de um computador para o estudo em casa. Desta forma, foi possível estudar o seu impacto no progresso dos estudos de cada estudante, independentemente do seu meio social.

Os resultados são surpreendentes. Após a introdução do computador pessoal no seu quarto de estudo, os jovens não melhoram os seus conhecimentos. Os rapazes têm mesmo a algum retrocesso escolar, um retrocesso modesto, mas estatisticamente significativo. Não se sabe a que isso se deve, mas os investigadores notaram a tendência a usar os computadores não como instrumento de estudo, mas sim como meio de comunicação e de diversão. O correio electrónico, as mensagens instantâneas, os jogos na Internet e outras actividades tornam-se uma fonte de dispersão constante.

Poder-se-ia também pensar que a oferta de computadores aos jovens de meios mais desfavorecidos seria um meio de igualização social. Mas este estudo notou que o retrocesso subsequente à introdução de computadores é maior é precisamente nesses jovens. Nas famílias com mais dificuldades, o apoio familiar na orientação do uso dos computadores para objectivos escolares é menor e os jovens dispersam-se mais.

Quer isto dizer que não se devem usar computadores no ensino? De forma alguma. Mas quer dizer que as novas tecnologias não são, por si só, solução para os problemas de aprendizagem. Nada substitui o professor e o estudo organizado.

.
«Passeio Aleatório» - «Expresso» de 10 Jul 10

O meu primo Leonardo e o meu tetravô Bernoulli

.

Por Nuno Crato

POR CURIOSIDADE, mal soube da existência da base internacional “Mathematics Genealogy Project” fui ver o nome do meu orientador e conhecer a minha árvore genealógica científica. Na gíria, o meu orientador de doutoramento é o meu “pai”, o orientador do meu orientador, o meu “avô”, e por aí adiante. Está tudo em linha num portal da Internet muito simples, mas muito instrutivo. Contribuí para ele entretanto, acrescentando o meu nome e os dos meus filhos científicos. Tive mais um — aliás uma — na semana passada. Já lá a acrescentei, orgulhoso como qualquer bom pai.

À data que escrevo estas linhas, o portal tem 142847 matemáticos registados; permite recuar aos tempos de Galileu e ainda alguns séculos antes. Pesquisando a minha árvore, fiquei orgulhoso por encontrar antepassados famosos. Descobri que descendo de Poisson, de Lagrange, de D’Alembert, de Euler e de Jacob Bernoulli. Consegui recuar até 1408, data em que o meu tetra-tetra-tetra…-tetra-avô Guarino de Verona se doutorou com Demetrios Kydones. Descobri também que Leonardo da Vinci é meu “primo”, embora afastado. Vesalius, Mercator e John Dee também. São bons motivos para ficar orgulhoso. Ou pelo menos assim pensei.

Na realidade, o orgulho é de todos nós, pois qualquer matemático que procure a sua ascendência científica irá forçosamente encontrar, se recuar o suficiente, um nome grande da história. Verifiquei isso com alguns colegas, que procurei ao acaso. Somos todos filhos de Eva. Somos todos descendentes científicos do número reduzido de investigadores que, no passado, desenvolveram este ramo do conhecimento. É inevitável que assim seja, mas é surpreendente verificá-lo.

Esta base de dados da genealogia matemática (http://genealogy.math.ndsu.nodak.edu) é tão grande que tornou possíveis estudos estatísticos antes impensáveis. Um grupo de investigadores da Universidade Northwestern, Illinois, que inclui o nosso compatriota Luís Amaral, publicou recentemente na “Nature” (doi:10.1038/nature09040) um artigo em que se estuda o papel da tutelagem (“mentorship”) dos orientadores sobre os seus doutorados.

Uma das conclusões interessantes do estudo, que incidiu sobre o século XX para poder ter um período com alguma homogeneidade, é que a “fecundidade” dos orientadores, isto é, o número de estudantes de doutoramento que orientam, se distribui de forma muito semelhante ao longo dos tempos. A média, por exemplo, pouco varia, mesmo considerando períodos tão diferentes como os do início do século XX, as guerras, a guerra fria e os anos 1990. Outra conclusão interessante, embora não surpreendente, é que o número de estudantes se correlaciona positivamente com o número de artigos científicos publicados pelos orientadores.

Curiosamente também, há um limite de idade a partir da qual os mentores têm menos sucesso. No fim da carreira científica, os matemáticos orientam pior os seus estudantes. Estes, em média, vêm a ser menos produtivos.

Mas estudando o sucesso dos orientadores, medido em termos da produção científica e da “fecundidade” dos seus orientandos, o estudo conclui, talvez inesperadamente, que os que têm um grande número de estudantes não têm necessariamente os que são mais produtivos. Ou seja, parece que há um limiar de número de alunos acima do qual estes não são tão bem acompanhados e, por isso, não vêm a ter tanto sucesso. Como em todas as árvores genealógicas, esta conta-nos as glórias e as tristezas da família.

.
«Passeio Aleatório» - «Expresso» de 3 Jul 10

O carbono e os faraós

.

Por Nuno Crato

CHEGARAM-NOS ESTA SEMANA notícias sobre a cronologia do antigo Egipto. As datas que se encontraram não foram estabelecidas com base em documentos nem em monumentos. Foram obtidas através de restos de objectos muito mais prosaicos: plantas.

Num artigo publicado na “Science” desta semana (328, p. 1554), um grupo de investigadores de Inglaterra, França, Áustria e Israel obteve datações de sementes, têxteis e frutos associados a diversos reinados do antigo Egipto. No total, foram analisadas 211 amostras provenientes de vários museus. Os resultados confirmaram algumas hipóteses estabelecidas pelos historiadores e questionaram outras. As maiores novidades referem-se ao chamado Reino Antigo, em que se encontraram datas anteriores às anteriormente assumidas. Sendo assim, o Novo Reino, que anteriormente se pensava ter começado cerca de 1500 anos a.C., tem agora data estimada de início entre 1720 e 1640 a.C.

A leitura do artigo da “Science” e do comentário que aparece na mesma revista (p. 1489), impressiona por mostrar o papel que a física e a geologia têm para a arqueologia moderna. As datas são discutidas relacionando os vestígios da erupção de Santorini (c. 1600 a.C.), cronologias diversas de artefactos em Creta e datações de restos orgânicos através do Carbono 14.

Esta última técnica foi desenvolvida pelo químico norte-americano Willard Libby, que a propôs em 1949. Como se sabe, o Carbono tem vários isótopos. Este elemento, que tem sempre seis protões no seu núcleo e portanto seis electrões em órbita, pode ter um número diverso de neutrões. Recebe um número conforme o total de protões e neutrões que possui. Existem dois isótopos estáveis, o Carbono 12 e o 13, e um instável, o Carbono 14. Este último desintegra-se constantemente, gerando Azoto, um electrão e um antineutrino.

Os isótopos estáveis são muito abundantes, enquanto do radioactivo se registam apenas vestígios. No entanto, apesar de o Carbono 14 ser instável, a fracção deste isótopo na atmosfera tem permanecido relativamente constante, dada a sua criação permanente por acção de raios cósmicos.

Os seres vivos incorporam constantemente o carbono e, portanto, têm uma fracção de Carbono 14 derivada da que se encontra na atmosfera. Quando morrem, contudo, o ciclo interrompe-se e o isótopo radioactivo vai decaindo a uma taxa constante. É um fenómeno físico muito curioso. Cada átomo radioactivo tem, em cada intervalo de tempo, uma probabilidade determinada de se desintegrar. Nunca se sabe o que vai acontecer a cada átomo em particular. Mas, tomando um número elevado de átomos, como o que existe em qualquer resto visível de planta, mesmo que diminuto, o decaimento segue uma lei muito regular. Em cada 5730 anos, metade dos átomos de Carbono 14 desintegra-se. De onde resulta que, medindo a percentagem desse isótopo radioactivo que existe em cada amostra de carbono, pode-se estimar há quantos anos o animal ou a planta deixou de absorver carbono da atmosfera, ou seja, há quantos anos morreu.

Segundo o que agora se descobriu, as plantas dos faraós do antigo reino morreram há mais anos do que anteriormente se pensava.

.
«Passeio Aleatório» - «Expresso» de 19 Jun 10

Os passeios dos atuns

.

Por Nuno Crato

UM GRUPO DE CIENTISTAS, entre os quais um investigador da Universidade do Porto, acaba de publicar na revista “Nature” um estudo sobre os movimentos de várias espécies marinhas predadoras (doi: 10.1038/nature09116). Estudaram as deambulações de 55 indivíduos de 14 espécies diferentes, incluindo tubarões, atuns e outros, e verificaram que os comportamentos se ajustavam aos ditames de uma teoria matemática sofisticada. Estarão os peixes a ter aulas de cálculo?

Um dos padrões de deslocação seguido pelos animais é o chamado movimento browniano, que tem uma versão discreta conhecida por passeio aleatório. Trata-se de uma deslocação errática em que, qualquer que seja a escala em que se observe, a direcção do movimento e a distância percorrida são aleatórios. Quem pela primeira vez observou este tipo de comportamento foi o botânico Robert Brown (1773–1858), que se espantou com a agitação que pequenas partículas de pólen manifestavam quando mergulhadas em água. Foi preciso esperar por Albert Einstein para conseguir explicar o fenómeno. Em 1905, o grande físico percebeu que a agitação se devia aos choques de miríades de moléculas de água em agitação e que as desordens se somavam e subtraíam, de forma a provocar o movimento das partículas de pólen. Elaborou um esboço de modelo formal desse comportamento — e o movimento browniano fez a sua aparição em matemática. Cinco anos antes, contudo, o matemático francês Louis Bachelier (1870–1946) tinha derivado discretamente um modelo matemático semelhante. O seu objectivo era explicar os movimentos erráticos dos mercados, mas as suas ideias só foram desenvolvidas no último quartel do século XX, tornando-se a base dos estudos de matemática financeira.

Nos anos 1990, percebeu-se que algumas espécies de animais predadores, entre as quais tubarões, tinham um comportamento semelhante quando procuravam as presas. Os peixes juntaram-se aos grãos de pólen e aos mercados como exemplos de movimento browniano. Maldita matemática!

Mas há mais, alguns estudos notaram que os passeios aleatórios dos predadores mudavam quando a caça rareava. Nessas alturas os movimentos tornavam-se mais bruscos. Passavam muito tempo deslocando-se alguns poucos metros para, de repente, deslocavam-se quilómetros. Ora, no movimento browniano, o espaço percorrido em certo intervalo de tempo é aleatório, mas relativamente bem distribuído — segue aquilo a que se chama uma distribuição normal. Neste novo movimento de caçadores desesperados, a distância percorrida varia bruscamente — os animais mantêm-se relativamente tranquilos, mas de volta e meia fazem deslocações bruscas e longas. A distribuição dos espaços percorridos ajusta-se bem a uma lei chamada de Lévy, em que a probabilidade de haver grandes desvios é muito superior à que se verifica numa distribuição dita normal. Os matemáticos descreveram esse tipo de movimento como “voos de Lévy” (Lévy flights).

Recentemente, alguns cientistas modelaram matematicamente os movimentos dos predadores e concluíram que havia duas estratégias óptimas (Phys. Life Rev. 5, 133–150). Se a caça fosse relativamente abundante, os caçadores deveriam deambular seguindo um movimento browniano. Mas se a caça faltasse, a melhor estratégia seria a dos voos de Lévy.

No estudo agora relatado na “Nature”, os cientistas descrevem o movimento de peixes a que foram agrafados pequenos equipamentos electrónicos, sinalizando a sua localização. Quando a caça é abundante, os predadores movimentam-se seguindo um modelo browniano. Quando a caça rareia, passam a adoptar o modelo de Lévy. Não é que os animais tiveram mesmo aulas de matemática?!

.
«Passeio Aleatório» - «Expresso» de 12 Jun 19

A múmia e o modelo do défice

.
Por Nuno Crato

BOLZANO é uma pequena cidade italiana, no sul do Tirol, muito conhecida pelos praticantes de montanhismo e de esqui. Os matemáticos lembram-se de um célebre teorema de Bernard Bolzano e pensam que a cidade terá alguma coisa a ver com esse matemático checo do século XIX. Talvez tenha, pois o pai desse académico nascera na Itália alpina. O mais famoso habitante da cidade, contudo, é Utzi, o “Homem da Neve” que foi descoberto em 1991 nas montanhas que circundam a cidade. É a múmia mais antiga do mundo. Terá vivido cerca de 3500 anos antes da nossa época, numa altura em que a Grande Pirâmide ainda não tinha começado a ser construída.

A múmia, carinhosamente chamada Utzi em referência a um vale da província, deve o seu espantoso estado de conservação a uma confluência de circunstâncias muito rara. Segundo se descobriu, trata-se de um homem que foi alvejado nas costas, teve uma hemorragia violenta, caiu na neve e ficou congelado. Mais tarde, as neves derreteram e o sol desidratou-o. Voltou a ser congelado pelas neves de inverno e ficou depois soterrado por gelo e neve até que, em 1991, dois turistas alemães o encontraram por acaso, numa altura em que o sol tinha voltado a derreter grande parte das neves. Depois de ter sido recolhido e estudado, o cadáver foi colocada em exposição no museu arqueológico de Bolzano, onde pode ser visto através de uma janela sobre uma câmara refrigerada.

Na semana passada, o moderno centro de investigação multidisciplinar de Bolzano, o EURAC, promoveu uma conferência internacional sobre divulgação científica em que Utzi foi uma das personagens centrais. Num painel sobre museologia científica discutiu-se a maneira de expor múmias em museus. Mas o que encheu o dia foi um debate sobre o actual modelo de divulgação científica.

Depois de uma época em que a divulgação era vista apenas como uma missão de cientistas para fornecerem informação ao público e assim suprirem um défice de cultura científica, a comunicação de ciência comporta hoje muito mais vertentes. Envolve museus e centros de ciência, junta educadores e profissionais de museologia. Inclui a actividade de muitos bons jornalistas, que fornecem um noticiário científico actualizado e rigoroso, enquanto outros escrevem magníficas peças de divulgação. Espalha-se pela rádio, pela televisão e pela internet, usa animações, blogues e discussões públicas.

Há umas duas décadas, o chamado «modelo do défice» foi muito criticado por ser apenas uma espécie de prolongamento da escola, em que os professores seriam substituídos por cientistas. Mas a crítica, influenciada por correntes pós-modernas então em ascensão, estendeu-se a outros aspectos. Afirmou que os cientistas não poderiam ser considerados detentores da verdade, que a ciência também erra e que era necessário o diálogo com o público, respeitando outras opiniões. Assim, a opinião do cientista não deveria valer mais do que as outras. Em vez de se tentar, de forma «paternalista», «divulgar» ou «vulgarizar» a ciência, era necessária uma «comunicação bidireccional».

Vários participantes no encontro salientaram que esta crítica apresenta algumas verdades mergulhadas num oceano de erros. Se é verdade que a ciência «também erra», quando se abordam fenómenos cientificamente estudados a ciência fornece conceitos mais fundamentados do que a simples opinião. E se é verdade a opinião dos cientistas vale tanto como a de outros cidadãos quando se trata de fazer escolhas morais, sociais e políticas, é crucial que se ouça o que a ciência tem a dizer para que essa escolha seja o mais bem informada possível. Se é também verdade que, em teoria, «a comunicação bidireccional» é preferível, nem todos têm igual informação e é desejável que os mais conhecedores em determinada área informem os outros. De outra forma, anular-se-ia a difusão da cultura. E ninguém inveja a vida que Utzi viveu nem quer voltar aos tempos da múmia.

A divulgação científica sofreria um grande retrocesso se substituísse o dito «modelo do défice» por um outro que, com pretexto na igualdade, promovesse o défice.

.
«Passeio Aleatório» - «Expresso» de 5 Jun 10 (adapt.)